10. (Задача-исследование.) Проверьте, верны ли равенства: \(\sqrt{2\frac23}=2\sqrt{\frac23}\), \(\sqrt{3\frac23}=3\sqrt{\frac38}\), \(\sqrt{4\frac4{15}}=4\sqrt{\frac4{15}}\). Выясните, каким должно быть соотношение между числами \(a\) и \(b\), чтобы было верно равенство \(\sqrt{a+\frac ab}=a\sqrt{\frac ab}\), где \(a\in\mathbb N\) и \(b\in\mathbb N\): 1) возведите в квадрат обе части равенства; 2) установите соотношение между числами \(a\) и \(b\); 3) проиллюстрируйте правильность вывода на примерах.

Проверим равенства, возводя обе неотрицательные части в квадрат.

1. \(\left(\sqrt{2\frac23}\right)^2=\frac83\), а \(\left(2\sqrt{\frac23}\right)^2=4\cdot\frac23=\frac83\). Равенство верно.
2. \(\left(\sqrt{3\frac23}\right)^2=\frac{11}{3}\), а \(\left(3\sqrt{\frac38}\right)^2=9\cdot\frac38=\frac{27}{8}\). Эти значения не равны, поэтому равенство неверно.
3. \(\left(\sqrt{4\frac4{15}}\right)^2=\frac{64}{15}\), а \(\left(4\sqrt{\frac4{15}}\right)^2=16\cdot\frac4{15}=\frac{64}{15}\). Равенство верно.

Пусть \(a,b\in\mathbb N\). Обе части общего равенства неотрицательны, поэтому равенство равносильно равенству их квадратов:

\(a+\frac ab=a^2\cdot\frac ab=\frac{a^3}{b}.\)

Умножим обе части на \(b\): \(ab+a=a^3\). Так как \(a\) — натуральное число, разделим на \(a\): \(b+1=a^2\). Следовательно, необходимое и достаточное условие: \(b=a^2-1\), при этом \(b\in\mathbb N\).

Примеры: при \(a=2\), \(b=3\): \(\sqrt{2+\frac23}=\sqrt{\frac83}=2\sqrt{\frac23}\). При \(a=3\), \(b=8\): \(\sqrt{3+\frac38}=\sqrt{\frac{27}{8}}=3\sqrt{\frac38}\). При \(a=4\), \(b=15\): \(\sqrt{4+\frac4{15}}=\sqrt{\frac{64}{15}}=4\sqrt{\frac4{15}}\).

Ответ: первые и третье равенства верны, второе неверно. Общее равенство выполняется тогда и только тогда, когда \(b=a^2-1\) (и \(b\) натурально).