10. Задача на движение (скорость, ускорение) 1. Точка движется по закону s(t) = 5t² + 2t - 3. Найдите скорость в момент t = 2. 2. Тело движется по закону s(t) = t³ - 4t² + 6t. Найдите ускорение в момент t = 1. 3. Скорость точки v(t) = 6t² - 2t + 1. Найдите путь за первые 2 секунды.

Решение:

1. Скорость \( v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(5t^2 + 2t - 3) = 10t + 2 \). В момент \( t = 2 \): \( v(2) = 10(2) + 2 = 20 + 2 = 22 \).
2. Ускорение \( a(t) = v'(t) = s''(t) \). \( v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 - 4t^2 + 6t) = 3t^2 - 8t + 6 \). \( a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 8t + 6) = 6t - 8 \). В момент \( t = 1 \): \( a(1) = 6(1) - 8 = 6 - 8 = -2 \).
3. Путь \( S = \int_{0}^{2} v(t) dt = \int_{0}^{2} (6t^2 - 2t + 1) dt \). \( S = \left[ 6\frac{t^3}{3} - 2\frac{t^2}{2} + t \right]_{0}^{2} = \left[ 2t^3 - t^2 + t \right]_{0}^{2} = (2(2^3) - 2^2 + 2) - (0) = (2(8) - 4 + 2) = 16 - 4 + 2 = 14 \).

Ответ: 1. 22; 2. -2; 3. 14