11. Дополнительно: тригонометрические уравнения с заменой 1. 2sin²x - sin x - 1 = 0 2. cos²x + cos x - 2 = 0 3. tg²x - 3tg x + 2 = 0

Решение:

1. Пусть \( t = \sin x \). Уравнение примет вид \( 2t^2 - t - 1 = 0 \). \( D = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9 \). \( t_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 \), \( t_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2} \). \( \sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \). \( \sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi k \) или \( x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi k \).
2. Пусть \( t = \cos x \). Уравнение примет вид \( t^2 + t - 2 = 0 \). \( D = 1^2 - 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 \). \( t_1 = \frac{-1 + 3}{2} = 1 \), \( t_2 = \frac{-1 - 3}{2} = -2 \). \( \cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi k \). \( \cos x = -2 \) — решений нет, так как \( -1 \le \cos x \le 1 \).
3. Пусть \( t = \mathrm{tg} x \). Уравнение примет вид \( t^2 - 3t + 2 = 0 \). \( D = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1 \). \( t_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \), \( t_2 = \frac{3 - 1}{2} = 1 \). \( \mathrm{tg} x = 2 \Rightarrow x = \mathrm{arctg} 2 + \pi k \). \( \mathrm{tg} x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{4} + \pi k \).

Ответ: 1. x = \(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\), x = -\(\frac{\pi}{6} + 2\pi k\), x = \(\frac{7\pi}{6} + 2\pi k\); 2. x = 2\(\pi k\); 3. x = \(\mathrm{arctg} 2 + \pi k\), x = \(\frac{\pi}{4} + \pi k\)