10. Знайдіть два різних натуральних числа a і b, для яких √a + √b = √147. За одну правильну пару з обґрунтуванням — 5 балів з 10. Додаткове питання: знайдіть усі такі пари (вважайте, що пари (a; b) і (b; a) однакові). За повний доказ з обґрунтуванням — 10 балів за завдання.

Перевод задания: Найдите два различных натуральных числа a и b, для которых √a + √b = √147. За одну правильную пару с обоснованием — 5 баллов из 10. Дополнительный вопрос: найдите все такие пары (считайте пары (a; b) и (b; a) одинаковыми). За полное доказательство с обоснованием — 10 баллов за задание.

Одна подходящая пара: возьмём a = 12 и b = 75. Тогда √12 + √75 = 2√3 + 5√3 = 7√3 = √147. Числа 12 и 75 — различные натуральные числа.

Дополнительный вопрос. Запишем каждое натуральное число в виде квадратного множителя, умноженного на свободное от квадратов число. Чтобы сумма двух корней была равна √147 = 7√3, оба корня должны иметь после упрощения один и тот же подкоренный множитель 3: корни с разными свободными от квадратов множителями не могут дать после возведения равенства в квадрат рациональное число 147. Поэтому a = 3m² и b = 3n², где m и n — натуральные числа. Тогда √a + √b = (m + n)√3 = 7√3, откуда m + n = 7. С точностью до перестановки возможны пары (m; n): (1; 6), (2; 5), (3; 4). Следовательно, (a; b) = (3; 108), (12; 75), (27; 48). Все пары состоят из различных чисел, и каждая удовлетворяет условию.

Відповідь: одна пара — (12; 75); усі пари з точністю до перестановки: (3; 108), (12; 75), (27; 48).

Переклад відповіді: Одна пара — (12; 75); все пары с точностью до перестановки: (3; 108), (12; 75), (27; 48).