100. 1) Докажите, что если k и n — натуральные числа, то при n > k значением выражения является обыкновенная дробь с числителем, равным единице: а) 1/(k² + kn) + 1/(n² + kn); б) 1/(kn − k²) − 1/(n² − kn). 2) Представьте дроби 1/35 и 1/44 в виде разности двух дробей с числителями, равными единице.

а) Разложим знаменатели на множители:

\(\frac1{k(k+n)}+\frac1{n(k+n)}=\frac{n+k}{kn(k+n)}=\frac1{kn}\).

б) Разложим знаменатели на множители и приведём к общему знаменателю:

\(\frac1{k(n-k)}-\frac1{n(n-k)}=\frac{n-k}{kn(n-k)}=\frac1{kn}\).

В обоих случаях результат — дробь с числителем 1; так как \(n>k\), знаменатели исходных дробей ненулевые.

\(\frac1{35}=\frac1{28}-\frac1{140}\), поскольку \(\frac1{28}-\frac1{140}=\frac5{140}-\frac1{140}=\frac4{140}=\frac1{35}\).

\(\frac1{44}=\frac1{33}-\frac1{132}\), поскольку \(\frac1{33}-\frac1{132}=\frac4{132}-\frac1{132}=\frac3{132}=\frac1{44}\).