100. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке M, а биссектриса угла C — сторону AD в точке K. Докажите, что четырёхугольник AMCK — параллелограмм.

В параллелограмме противоположные стороны параллельны: AB ∥ CD и BC ∥ AD. Поэтому углы A и C равны, а их биссектрисы параллельны: AM ∥ CK.

Рассмотрим треугольник ABM. Поскольку M лежит на BC, угол ABM равен углу ABC. Угол BAM равен половине угла A, так как AM — биссектриса.

Соседние углы параллелограмма A и B в сумме равны 180°, поэтому угол ABM = 180° − угол B = угол A. Следовательно, угол BAM = угол ABM, и треугольник ABM равнобедренный: AM = BM.

Аналогично в треугольнике CDK: угол CDK равен углу CDA, а угол DCK — половина угла C. Соседние углы C и D supplementary, значит угол CDK = угол C; поэтому треугольник CDK равнобедренный и CK = DK.

Так как AB = CD, а AM = BM и CK = DK, а также углы A и C равны, можно непосредственно сравнить отрезки на параллельных сторонах: из AM = BM следует, что положение M делит BC так, что BM = AB/2; аналогично DK = CD/2. Поскольку AB = CD, имеем BM = DK. А из AM = BM и CK = DK следует AM = CK.

В четырёхугольнике AMCK противоположные стороны AM и CK равны и параллельны. Следовательно, AMCK — параллелограмм.

Ответ: AMCK — параллелограмм.