1000(989). Катушка приемного контура радиоприемника имеет индуктивность 1 мкГн. Какова емкость конденсатора, если идет прием станции, работающей на длине волны 1000 м?

Для решения этой задачи воспользуемся формулой Томсона, которая связывает индуктивность ($$L$$) и емкость ($$C$$) колебательного контура с длиной электромагнитной волны ($$\lambda$$), которую он принимает.

Дано:

• Индуктивность: $$L = 1$$ мкГн = $$1 \times 10^{-6}$$ Гн
• Длина волны: $$\lambda = 1000$$ м
• Скорость света: $$c \approx 3 \times 10^8$$ м/с

Найти:

• Емкость конденсатора: $$C$$

Решение:

1. Связь между длиной волны и параметрами контура выражается формулой: $$\lambda = cT$$, где $$T$$ - период колебаний.
2. Период колебаний в контуре: $$T = 2\pi\sqrt{LC}$$.
3. Подставляем $$T$$ в формулу длины волны: $$\lambda = c \cdot 2\pi\sqrt{LC}$$.
4. Теперь выразим емкость $$C$$:
5. $$\frac{\lambda}{2\pi c} = \sqrt{LC}$$
6. Возведем обе части в квадрат: $$(\frac{\lambda}{2\pi c})^2 = LC$$
7. $$C = \frac{\lambda^2}{4\pi^2 c^2 L}$$
8. Подставим числовые значения:
9. $$C = \frac{(1000 \text{ м})^2}{4\pi^2 (3 \times 10^8 \text{ м/с})^2 (1 \times 10^{-6} \text{ Гн})}$$
10. $$C = \frac{1000000}{4\pi^2 (9 \times 10^{16}) (10^{-6})}$$
11. $$C = \frac{10^6}{36\pi^2 \times 10^{10}}$$
12. $$C = \frac{10^{-4}}{36\pi^2} \text{ Ф}$$
13. Рассчитаем приближенное значение: $$\pi^2 \approx 9.87$$
14. $$C \approx \frac{10^{-4}}{36 \times 9.87} \text{ Ф} \approx \frac{10^{-4}}{355.32} \text{ Ф} \approx 0.000002814 \text{ Ф} \approx 2.814 \times 10^{-6}$$ Ф = 2.814 мкФ.

Ответ: Емкость конденсатора составляет примерно 2.814 мкФ.