1001. Докажите, что если векторы a⃗ и b⃗ не коллинеарны, то: а) векторы a⃗ + b⃗ и a⃗ − b⃗ не коллинеарны; б) векторы 2a⃗ − b⃗ и a⃗ + b⃗ не коллинеарны; в) векторы a⃗ + b⃗ и a⃗ + 3b⃗ не коллинеарны.

Так как \(\vec a\) и \(\vec b\) неколлинеарны, равенство двух линейных комбинаций этих векторов возможно только при равенстве соответствующих коэффициентов.

а) Предположим, что \(\vec a+\vec b=\lambda(\vec a-\vec b)\). Тогда \(1=\lambda\) и \(1=-\lambda\), что невозможно. Значит, векторы неколлинеарны.

б) Предположим, что \(2\vec a-\vec b=\lambda(\vec a+\vec b)\). Тогда \(2=\lambda\) и \(-1=\lambda\), что невозможно. Значит, векторы неколлинеарны.

в) Предположим, что \(\vec a+\vec b=\lambda(\vec a+3\vec b)\). Тогда \(1=\lambda\) и \(1=3\lambda\), что невозможно. Значит, векторы неколлинеарны.

Ответ: все три пары векторов неколлинеарны.