102. Отрезки \(AC\) и \(BD\) точкой пересечения делятся пополам. Докажите, что \(\triangle ABC=\triangle CDA\).

Обозначим точку пересечения отрезков через \(O\). По условию \(AO=OC\) и \(BO=OD\).

1. Углы \(AOB\) и \(COD\) вертикальные, значит, равны. Поэтому \(\triangle AOB=\triangle COD\) по двум сторонам и углу между ними. Отсюда \(AB=CD\).
2. Углы \(BOC\) и \(DOA\) вертикальные и равны. Вместе с равенствами \(BO=OD\) и \(OC=OA\) это даёт \(\triangle BOC=\triangle DOA\) по двум сторонам и углу между ними. Отсюда \(BC=DA\).
3. Сторона \(AC\) общая для треугольников \(ABC\) и \(CDA\). Итак, \(AB=CD\), \(BC=DA\), \(AC=CA\), поэтому треугольники равны по трём сторонам.