1024. Найдите площадь треугольника ABC, если: а) ∠A = α, а высоты, проведённые из вершин B и C, соответственно равны h_b и h_c; б) ∠A = α, ∠B = β, а высота, проведённая из вершины B, равна h.

а) Обозначим стороны \(AC=b\), \(AB=c\). Тогда \(h_b=c\sin\alpha\), \(h_c=b\sin\alpha\). Следовательно, \(b=\frac{h_c}{\sin\alpha}\), \(c=\frac{h_b}{\sin\alpha}\). Площадь можно выразить как \(S=\frac12bc\sin\alpha\):

\[S=\frac{h_bh_c}{2\sin\alpha}.\]

б) По формуле площади через сторону \(AB\) и высоту из вершины \(B\): \(S=\frac12 AB\cdot h\). Так как \(h=AB\sin\alpha\), то \(AB=\frac{h}{\sin\alpha}\). Поэтому:

\[S=\frac12\cdot\frac{h}{\sin\alpha}\cdot h=\frac{h^2}{2\sin\alpha}.\]

Угол \(\beta\) для вычисления площади не нужен.

Ответ: а) \(S=\frac{h_bh_c}{2\sin\alpha}\); б) \(S=\frac{h^2}{2\sin\alpha}\).