1026. В треугольнике ABC AC = 12 см, ∠A = 75°, ∠C = 60°. Найдите AB и S_ABC.

Сначала найдём третий угол:

\[B=180^\circ-75^\circ-60^\circ=45^\circ.\]

По теореме синусов:

\[\frac{AB}{\sin60^\circ}=\frac{AC}{\sin45^\circ},\qquad AB=12\cdot\frac{\sin60^\circ}{\sin45^\circ}=6\sqrt6\text{ см}.\]

Площадь:

\[S=\frac12\cdot AB\cdot AC\cdot\sin75^\circ=\frac12\cdot6\sqrt6\cdot12\cdot\sin75^\circ.\]

Так как \(\sin75^\circ=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\), получаем:

\[S=54+18\sqrt3\text{ см}^2\approx85.2\text{ см}^2.\]

Ответ: \(AB=6\sqrt6\text{ см}\); \(S_{ABC}=54+18\sqrt3\text{ см}^2\approx85.2\text{ см}^2\).