103. Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\). Доказать: a) \(\triangle ACH \sim \triangle ABC\); б) \(\triangle CBH \sim \triangle ABC\); в) \(\triangle ACH \sim \triangle CBH\). Доказательство. Так как CH \(\perp\) ___, то по ___ высоты \(\angle CHA = \angle CHB = \)___\(^\circ\). a) В треугольниках ACH и ABC \(\angle A\) – общий, \(\angle AHC = \angle ACB = \)___\(^\circ\). Следовательно, \(\triangle ACH \sim \triangle ABC\) по двум ___. б) В треугольниках CBH и ABC \(\angle B\) – ___, \(\angle CHB = \angle ACB = \)___\(^\circ\). Следовательно, \(\triangle CBH\)___\(\triangle ABC\) по ___ углам. в) В \(\triangle ACH\) \(\angle ACH = 90^\circ - \angle \)___. В \(\triangle CBH\) \(\angle B = \) ___ - \(\angle A\). Поэтому \(\angle ACH\) ___ \(\angle B\), следовательно, \(\triangle ACH\)___\(\triangle CBH\) по ___, что и требовалось доказать.

```json { "a)": { "CH_perp": "AB", "_to": "свойству", "angle_CHA_CHB": "90", "angle_AHC_ACB": "90", "two_elements": "углам" }, "b)": { "angle_B_common": "общий", "angle_CHB_ACB": "90", "triangle_CBH_ABC": "~", "_elements_angles": "двум" }, "c)": { "angle_ACH_A_angle": "A", "angle_B_minus_A": "90°", "angle_ACH_B_relation": "=", "triangle_ACH_CBH_relation": "~", "_by": "двум углам" } } ``` **Объяснение:** **Задача 103** В этой задаче нам нужно доказать подобие нескольких треугольников. Подобие треугольников означает, что их углы соответственно равны, а стороны пропорциональны. **а) Доказательство \(\triangle ACH \sim \triangle ABC\)** * Так как CH — высота, опущенная на сторону AB, то CH перпендикулярна AB. Это означает, что \(\angle CHA = \angle CHB = 90^\circ\). Здесь используется свойство высоты в треугольнике. * В треугольниках \(\triangle ACH\) и \(\triangle ABC\), угол \(\angle A\) является общим. * Также мы знаем, что \(\angle AHC = \angle ACB = 90^\circ\). * Поскольку у двух треугольников есть два равных угла, они подобны по двум углам. Следовательно, \(\triangle ACH \sim \triangle ABC\). **б) Доказательство \(\triangle CBH \sim \triangle ABC\)** * В треугольниках \(\triangle CBH\) и \(\triangle ABC\), угол \(\angle B\) является общим. * Мы также знаем, что \(\angle CHB = \angle ACB = 90^\circ\). * Следовательно, \(\triangle CBH \sim \triangle ABC\) по двум углам. **в) Доказательство \(\triangle ACH \sim \triangle CBH\)** * В \(\triangle ACH\), \(\angle ACH = 90^\circ - \angle A\) (так как сумма углов треугольника равна 180 градусам). * В \(\triangle CBH\), \(\angle CBH = 90^\circ - \angle A\) (так как угол \(\angle C = 90^\circ\) и сумма углов в \(\triangle ABC\) равна 180 градусам). * Получается, что \(\angle ACH = \angle B\). Так как \(\angle AHC = \angle CHB = 90^\circ\), то \(\triangle ACH \sim \triangle CBH\) по двум углам.