104. В трапеции ABCD с основанием BC диагонали AC и BD пересекаются в точке O, OA : OC = 3, \(S_{BOC} = 7\) см². Найдите площадь трапеции. Решение.

```json { "solution": "Нам дана трапеция ABCD с основаниями BC и AD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Известно, что \\(OA:OC = 3:1\\), и площадь треугольника BOC равна 7 см². Мы можем использовать свойство площадей подобных треугольников. Рассмотрим треугольники \\( \\triangle BOC \\) и \\( \\triangle AOD \\). Так как основания трапеции параллельны, углы \\( \\angle BOC \\) и \\( \\angle AOD \\) равны (вертикальные), а углы \\( \\angle OCB = \\angle OAD \\) и \\( \\angle OBC = \\angle ODA \\) (накрест лежащие при параллельных прямых и секущих). Следовательно, \\( \\triangle BOC \\) \\(\sim\\) \\( \\triangle AOD\\) по трем углам. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Так как \\(OA:OC=3:1\\), то коэффициент подобия \\(k=\\frac{AO}{CO}=3\\). Отношение площадей \\(\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}}=k^2\\). Тогда \\(S_{AOD} = k^2 * S_{BOC}\\). Подставляя, получаем: \\(S_{AOD} = 3^2 * 7 = 9 * 7 = 63 \\) см². Также, так как \\(\frac{AO}{OC} = \frac{3}{1}\\), то \\(\frac{S_{AOB}}{S_{BOC}} = \frac{AO}{OC} = 3\\). Следовательно, \\(S_{AOB} = 3 * S_{BOC} = 3 * 7 = 21\\) см². Так как \\( \\frac{S_{AOD}}{S_{DOC}} = \frac{AO}{OC} = 3 \\), то \\( S_{DOC} = \\frac{S_{AOD}}{3} = \\frac{63}{3} = 21\\) см². Площадь трапеции ABCD равна сумме площадей всех четырех треугольников, составляющих её: \\( S_{ABCD} = S_{BOC} + S_{AOD} + S_{AOB} + S_{DOC} = 7 + 63 + 21 + 21 = 112 \\) см². **Ответ:** Площадь трапеции ABCD равна 112 см²." } ``` **Объяснение:** **Задача 104** В этой задаче нам нужно найти площадь трапеции, зная соотношение отрезков диагоналей и площадь одного из треугольников, образованных диагоналями. 1. **Подобие треугольников:** * Треугольники \(\triangle BOC\) и \(\triangle AOD\) подобны, так как их углы соответственно равны (вертикальные и накрест лежащие углы при параллельных прямых). 2. **Отношение площадей:** * Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. В данном случае коэффициент подобия \(k = \frac{OA}{OC} = 3\). * Значит, \(\frac{S_{AOD}}{S_{BOC}} = k^2 = 3^2 = 9\). Отсюда находим, что площадь \(\triangle AOD\) равна \(S_{AOD} = 9 \cdot S_{BOC} = 9 \cdot 7 = 63\) см². 3. **Площади треугольников \(\triangle AOB\) и \(\triangle DOC\):** * Мы знаем, что отношение площадей треугольников с общей высотой (например, \(\triangle AOB\) и \(\triangle BOC\)) равно отношению их оснований. Значит, \(\frac{S_{AOB}}{S_{BOC}} = \frac{AO}{OC} = 3\). Поэтому \(S_{AOB} = 3 * S_{BOC} = 3 * 7 = 21\) см². * Аналогично, \(\frac{S_{DOC}}{S_{BOC}} = \frac{DO}{BO}\). Из подобия \(\triangle BOC\) и \(\triangle AOD\) следует, что \(\frac{DO}{BO}=\frac{OC}{AO} = \frac{1}{3}\). Так же \(\frac{S_{DOC}}{S_{AOD}}=\frac{CO}{AO} = \frac{1}{3}\), а значит \(S_{DOC} = \frac{S_{AOD}}{3}=\frac{63}{3} = 21\) см². 4. **Площадь трапеции:** * Площадь трапеции равна сумме площадей всех четырёх треугольников: \(S_{ABCD} = S_{BOC} + S_{AOD} + S_{AOB} + S_{DOC} = 7 + 63 + 21 + 21 = 112\) см². Таким образом, площадь трапеции равна 112 см².