1035. Докажите, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, и найдите его площадь, если: а) A(−3; −1), B(1; −1), C(1; −3), D(−3; −3); б) A(4; 1), B(3; 5), C(−1; 4), D(0; 0).

а) AB горизонтален и BC вертикален, поэтому \(AB\perp BC\). Кроме того, противоположные стороны параллельны: ABCD — прямоугольник. Его стороны равны \(AB=4\), \(BC=2\), поэтому \(S=4\cdot2=8\).

б) \(\overrightarrow{AB}=(-1;4)\), \(\overrightarrow{BC}=(-4;-1)\). Их скалярное произведение равно \((-1)(-4)+4(-1)=0\), поэтому соседние стороны перпендикулярны. Также \(\overrightarrow{DC} =(-1;4)=\overrightarrow{AB}\) и \(\overrightarrow{AD}=(-4;-1)=\overrightarrow{BC}\), следовательно, ABCD — прямоугольник.

Длины соседних сторон: \(AB=\sqrt{(-1)^2+4^2}=\sqrt{17}\), \(BC=\sqrt{(-4)^2+(-1)^2}=\sqrt{17}\). Поэтому площадь \(S=\sqrt{17}\cdot\sqrt{17}=17\).

Ответ: а) 8; б) 17.