[Номер задания на фото не виден.] Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, и найдите его площадь, если вершины имеют координаты: а) A(0; 1), B(1; −4), C(5; 2); б) A(−4; 1), B(−2; 4), C(0; 1).

а) Найдём квадраты длин сторон по формуле расстояния между точками.

\(AB^2=(1-0)^2+(-4-1)^2=26\), \(BC^2=(5-1)^2+(2+4)^2=52\), \(AC^2=(5-0)^2+(2-1)^2=26\). Значит, \(AB=AC=\sqrt{26}\), и треугольник равнобедренный.

Основание \(BC\) имеет длину \(\sqrt{52}=2\sqrt{13}\). Высота к нему находится по формуле площади через координаты: \(S=\frac12| (B-A)_x(C-A)_y-(B-A)_y(C-A)_x |=\frac12|1\cdot1-(-5)\cdot5|=13\).

б) \(AB^2=(-2+4)^2+(4-1)^2=13\), \(BC^2=(0+2)^2+(1-4)^2=13\), \(AC^2=(0+4)^2+(1-1)^2=16\). Следовательно, \(AB=BC=\sqrt{13}\), треугольник равнобедренный.

Отрезок \(AC\) — основание длины \(4\). Высота из точки B к прямой AC равна 3, поскольку AC горизонтален, а ордината B равна 4 при ординате основания 1. Поэтому \(S=\frac12\cdot4\cdot3=6\).

Ответ: а) 13; б) 6.