1034. Докажите, что четырёхугольник MNPQ является параллелограммом, и найдите его диагонали, если: а) M (1; 1), N (6; 1), P (7; 4), Q (2; 4); б) M (−5; 1), N (−4; 4), P (−1; 5), Q (−2; 2).

Если диагонали четырёхугольника имеют общую середину, то четырёхугольник является параллелограммом.

а) Середина MP: ((1 + 7) / 2; (1 + 4) / 2) = (4; 5/2). Середина NQ: ((6 + 2) / 2; (1 + 4) / 2) = (4; 5/2). Следовательно, MNPQ — параллелограмм. Длины диагоналей: MP = √(6² + 3²) = 3√5, NQ = √((−4)² + 3²) = 5.

б) Середина MP: ((−5 − 1) / 2; (1 + 5) / 2) = (−3; 3). Середина NQ: ((−4 − 2) / 2; (4 + 2) / 2) = (−3; 3). Следовательно, MNPQ — параллелограмм. Длины диагоналей: MP = √(4² + 4²) = 4√2, NQ = √(2² + (−2)²) = 2√2.

Ответ: а) MP = 3√5, NQ = 5; б) MP = 4√2, NQ = 2√2.