1045. Докажите тождество Диофанта Александрийского: (a² + b²)(c² + d²) = (ac + bd)² + (ad − bc)².

Раскроем скобки в правой части:

\((ac+bd)^2+(ad-bc)^2=a^2c^2+2abcd+b^2d^2+a^2d^2-2abcd+b^2c^2\).

Слагаемые \(2abcd\) и \(-2abcd\) сокращаются. Сгруппируем оставшиеся слагаемые:

\(a^2c^2+a^2d^2+b^2c^2+b^2d^2=a^2(c^2+d^2)+b^2(c^2+d^2)=(a^2+b^2)(c^2+d^2)\).

Правая часть равна левой, следовательно, тождество доказано.