1058. Найдите площадь треугольника ABC, если: а) BC = 4,125 м, ∠B = 44°, ∠C = 72°; б) BC = 4100 м, ∠A = 32°, ∠C = 120°.

а) Сначала найдём третий угол: \(\angle A=180^\circ-44^\circ-72^\circ=64^\circ\). По теореме синусов стороны, прилежащие к углу B, равны \(AB=BC\cdot\frac{\sin72^\circ}{\sin64^\circ}\) и \(BD\) нет; здесь нужна сторона \(AC=BC\cdot\frac{\sin44^\circ}{\sin64^\circ}\). Площадь вычислим по формуле через две стороны и угол между ними: \(S=\frac12 AB\cdot BC\sin44^\circ\), где \(AB=BC\cdot\frac{\sin72^\circ}{\sin64^\circ}\). Поэтому \(S=\frac{4.125^2\sin72^\circ\sin44^\circ}{2\sin64^\circ}\approx7.67\text{ м}^2\).

б) Дано \(BC=4100\text{ м}\), \(\angle A=32^\circ\), \(\angle C=120^\circ\). Тогда \(\angle B=180^\circ-32^\circ-120^\circ=28^\circ\). По теореме синусов \(AC=BC\cdot\frac{\sin28^\circ}{\sin32^\circ}\). Площадь \(S=\frac12 AC\cdot BC\sin120^\circ=\frac{4100^2\sin28^\circ\sin120^\circ}{2\sin32^\circ}\approx4\,376\,000\text{ м}^2\).

Ответ: а) примерно 7,67 м²; б) примерно 4 376 000 м².