1060. Используя теорему синусов, решите треугольник ABC, если: а) AB = 8 см, ∠A = 30°, ∠B = 45°; б) AB = 5 см, ∠B = 45°, ∠C = 60°; в) AB = 3 см, BC = 3,3 см, ∠A = 48°30′; г) AC = 10,4 см, BC = 5,2 см, ∠B = 62°48′.

Обозначим \(a=BC\), \(b=AC\), \(c=AB\). Используем теорему синусов: \(\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}\).

а) \(\angle C=180^\circ-30^\circ-45^\circ=105^\circ\). По теореме синусов: \(a=8\frac{\sin30^\circ}{\sin105^\circ}\approx4.14\text{ см}\), \(b=8\frac{\sin45^\circ}{\sin105^\circ}\approx5.86\text{ см}\).

б) \(\angle A=180^\circ-45^\circ-60^\circ=75^\circ\). Тогда \(a=5\frac{\sin75^\circ}{\sin60^\circ}\approx5.58\text{ см}\), \(b=5\frac{\sin45^\circ}{\sin60^\circ}\approx4.08\text{ см}\).

в) По теореме синусов \(\sin C=\frac{AB\sin A}{BC}=\frac{3\sin48^\circ30'}{3.3}\), откуда \(C\approx43.4^\circ\). Второе решение уравнения синусов, \(136.6^\circ\), невозможно: вместе с A оно превысило бы \(180^\circ\). Следовательно, \(B=180^\circ-48^\circ30'-C\approx88.1^\circ\), а \(AC=3.3\frac{\sin B}{\sin A}\approx4.40\text{ см}\).

г) Дано \(a=5.2\text{ см}\), \(b=10.4\text{ см}\), \(B=62^\circ48'\). По теореме синусов \(\sin A=\frac{b\sin B}{a}=2\sin62^\circ48'>1\), что невозможно для синуса угла. Следовательно, данные противоречивы: такого треугольника не существует.

Ответ: а) \(C=105^\circ\), \(BC\approx4.14\text{ см}\), \(AC\approx5.86\text{ см}\); б) \(A=75^\circ\), \(BC\approx5.58\text{ см}\), \(AC\approx4.08\text{ см}\); в) \(C\approx43.4^\circ\), \(B\approx88.1^\circ\), \(AC\approx4.40\text{ см}\); г) треугольник не существует.