1059. Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними.

Пусть диагонали выпуклого четырёхугольника равны \(d_1\) и \(d_2\), а угол между ними равен \(\varphi\). Обозначим точку их пересечения через O.

1. Диагонали делят четырёхугольник на четыре треугольника с общей вершиной O.
2. В каждом треугольнике площадь равна половине произведения двух прилежащих частей диагоналей на синус угла между ними. У двух противоположных треугольников угол равен \(\varphi\), у двух других — \(180^\circ-\varphi\); синусы этих углов равны.
3. Пусть части одной диагонали равны \(a,c\), а другой — \(b,d\). Сумма площадей равна \(\frac12 ab\sin\varphi+\frac12 cb\sin\varphi+\frac12 cd\sin\varphi+\frac12 ad\sin\varphi\).
4. Вынесем общий множитель и сгруппируем: \(S=\frac12(ab+cb+cd+ad)\sin\varphi=\frac12(a+c)(b+d)\sin\varphi\). Поскольку \(a+c=d_1\) и \(b+d=d_2\), получаем требуемое равенство.

Итак, \(S=\frac12 d_1d_2\sin\varphi\).