1061. Используя теорему косинусов, решите треугольник ABC, если: а) AB = 5 см, AC = 7,5 см, ∠A = 135°; б) AB = 2√2 дм, BC = 3 дм, ∠B = 45°; в) AC = 0,6 м, BC = √3/4 дм, ∠C = 150°.

Используем теорему косинусов для нахождения третьей стороны, затем находим углы по теореме косинусов. Значения углов округлены до сотых градуса.

а) Находим сторону BC:

BC² = AB² + AC² − 2 · AB · AC · cos A = 5² + 7,5² − 2 · 5 · 7,5 · cos 135° = 81,25 + 37,5√2.

BC ≈ 11,59 см.

cos B = (AB² + BC² − AC²) / (2 · AB · BC), поэтому ∠B ≈ 27,20°. Тогда ∠C = 180° − 135° − 27,20° ≈ 17,80°.

б) Находим сторону AC:

AC² = AB² + BC² − 2 · AB · BC · cos B = 8 + 9 − 12 = 5, значит AC = √5 дм.

cos A = (AB² + AC² − BC²) / (2 · AB · AC) = 4 / (4√10) = 1/√10, поэтому ∠A ≈ 71,57°. Тогда ∠C = 180° − 45° − 71,57° ≈ 63,43°.

в) Приведём длины к метрам: BC = (√3/4) дм = √3/40 м. Находим AB:

AB² = AC² + BC² − 2 · AC · BC · cos C = 0,36 + 3/1600 + 3√3/200 ≈ 0,406875.

AB ≈ 0,63787 м.

По теореме синусов sin A = BC · sin C / AB, откуда ∠A ≈ 1,94°. Тогда ∠B = 180° − 150° − 1,94° ≈ 28,06°.

Ответ: а) BC ≈ 11,59 см, ∠B ≈ 27,20°, ∠C ≈ 17,80°; б) AC = √5 дм, ∠A ≈ 71,57°, ∠C ≈ 63,43°; в) AB ≈ 0,63787 м, ∠A ≈ 1,94°, ∠B ≈ 28,06°.