1067. а) Решите уравнение \(\dfrac{\sin x}{\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right)}=- g x-\sqrt3\). б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left(-\frac{3\pi}{2};0\right)\).

Область допустимых значений: \(\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right)\ne0\) и \(\cos x\ne0\).

Положим \(t= g x\). Так как \(\sin\left(\frac{\pi}{6}-x\right)=\cos x\left(\frac12-\frac{\sqrt3}{2}t\right)\), уравнение принимает вид

\(\dfrac{2t}{1-\sqrt3t}=-(t+\sqrt3)\).

Учитывая, что \(1-\sqrt3t\ne0\), получаем \(2t=-(t+\sqrt3)(1-\sqrt3t)\), откуда \(t^2=1\). Значения \(t=1\) и \(t=-1\) допустимы.

Следовательно, \(x=\frac{\pi}{4}+\pi k\) или \(x=-\frac{\pi}{4}+\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

В промежуток \(\left(-\frac{3\pi}{2};0\right)\) попадают \(-\frac{3\pi}{4}\), \(-\frac{\pi}{4}\) и \(-\frac{5\pi}{4}\).

Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{4}+\pi k\) или \(x=-\frac{\pi}{4}+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(-\frac{5\pi}{4},-\frac{3\pi}{4},-\frac{\pi}{4}\).