1068. а) Решите уравнение \(\dfrac{\sin x}{\cos\left(\frac{\pi}{3}+x\right)}=-\ctg x-\sqrt3\). б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \(\left(-\frac{3\pi}{2};0\right)\).

Область допустимых значений: \(\sin x\ne0\) и \(\cos\left(\frac{\pi}{3}+x\right)\ne0\).

Положим \(t=\ctg x\). Поскольку \(\cos\left(\frac{\pi}{3}+x\right)=\sin x\left(\frac{t}{2}-\frac{\sqrt3}{2}\right)\), получаем

\(\dfrac{2}{t-\sqrt3}=-(t+\sqrt3)\).

Здесь \(t\ne\sqrt3\). После умножения на знаменатель: \(2=-(t^2-3)\), поэтому \(t^2=1\). Оба значения \(t=1\) и \(t=-1\) допустимы.

Отсюда \(x=\frac{\pi}{4}+\pi k\) или \(x=\frac{3\pi}{4}+\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

В указанном промежутке лежат корни \(-\frac{5\pi}{4}\), \(-\frac{3\pi}{4}\) и \(-\frac{\pi}{4}\).

Ответ: а) \(x=\frac{\pi}{4}+\pi k\) или \(x=\frac{3\pi}{4}+\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(-\frac{5\pi}{4},-\frac{3\pi}{4},-\frac{\pi}{4}\).