1069. а) Решите уравнение \(\dfrac{8\cos^2 x-6\cos x-5}{\sqrt{-9\sin x}}=0\). б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-6\pi;-\frac{9\pi}{2}]\).

Для существования знаменателя необходимо \(-9\sin x>0\), то есть \(\sin x<0\). Дробь равна нулю, когда равен нулю её числитель.

Пусть \(c=\cos x\). Тогда \(8c^2-6c-5=0\), то есть \((2c+1)(4c-5)=0\). Получаем \(c=-\frac12\) или \(c=\frac54\). Второе значение невозможно для косинуса.

При \(\cos x=-\frac12\) и \(\sin x<0\) получаем \(x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k\), где \(k\in\mathbb Z\).

На отрезке \([-6\pi;-\frac{9\pi}{2}]\) из этой последовательности находится только значение при \(k=-3\): \(-\frac{14\pi}{3}\).

Ответ: а) \(x=\frac{4\pi}{3}+2\pi k\), \(k\in\mathbb Z\); б) \(-\frac{14\pi}{3}\).