1084. Периметр равнобедренного треугольника с основанием 20 см зависит от длины x (см) боковой стороны. Задайте формулой функцию, выражающую эту зависимость, зная, что периметр треугольника не превосходит 100 см. Укажите область определения и множество значений этой функции.

Краткое пояснение:

Периметр треугольника – это сумма длин всех его сторон. Для равнобедренного треугольника две боковые стороны равны. Учитывая ограничение на периметр, мы можем составить функцию и определить её допустимые значения.

Пошаговое решение:

• Обозначим длину боковой стороны равнобедренного треугольника как \( x \) см.
• Основание треугольника равно 20 см.
• Так как треугольник равнобедренный, две боковые стороны равны \( x \) см.
• Периметр \( P \) равнобедренного треугольника вычисляется по формуле: \( P = \text{основание} + 2 \cdot \text{боковая сторона} \).
• Подставляем известные значения: \( P(x) = 20 + 2x \).
• Дано условие, что периметр не превосходит 100 см: \( P(x) \le 100 \).
• Подставляем формулу периметра: \( 20 + 2x \le 100 \).
• Решаем неравенство для нахождения области определения \( x \):
• \( 2x \le 100 - 20 \)
• \( 2x \le 80 \)
• \( x \le 40 \).
• Также, длина стороны треугольника должна быть положительной, поэтому \( x > 0 \).
• Кроме того, для существования треугольника сумма двух любых сторон должна быть больше третьей стороны. В нашем случае:
• \( x + x > 20 \) => \( 2x > 20 \) => \( x > 10 \).
• \( x + 20 > x \) (всегда верно).
• \( x + 20 > x \) (всегда верно).
• Таким образом, область определения \( x \) для существования треугольника с данными условиями: \( 10 < x \le 40 \).
• Теперь найдем множество значений функции \( P(x) \) для найденной области определения \( x \).
• Минимальное значение периметра будет, когда \( x \) стремится к 10 (но не равно 10): \( P(10) = 20 + 2 \cdot 10 = 20 + 20 = 40 \).
• Максимальное значение периметра будет, когда \( x = 40 \): \( P(40) = 20 + 2 \cdot 40 = 20 + 80 = 100 \).
• Следовательно, множество значений функции \( P(x) \) находится в диапазоне \( (40, 100] \).

Ответ:

• Формула функции: \( P(x) = 20 + 2x \)
• Область определения функции: \( (10; 40] \) см
• Множество значений функции: \( (40; 100] \) см