Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 109 Найдите вероятность получить n разных результатов, бросив игральную кость n раз, если: a) n = 3; б) n = 4; в) n = 5; г) n…Фото задания

Ответ:

Решение:

При бросании игральной кости существует 6 возможных исходов (числа от 1 до 6). Когда мы бросаем кость \( n \) раз, общее число всех возможных исходов равно \( 6^n \).

Нас интересует вероятность получить \( n \) разных результатов. Это означает, что каждый раз должен выпадать новый результат, которого раньше не было.

  • а) n = 3

    • Мы хотим получить 3 разных результата за 3 броска. Общее число исходов: \( 6^3 = 216 \).

    Число благоприятных исходов: В первый раз может выпасть любое из 6 чисел. Во второй — любое из оставшихся 5. В третий — любое из оставшихся 4. Таким образом, число благоприятных исходов равно \( P_6^3 = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120 \). (Это число размещений из 6 по 3).

    Вероятность: \( P = \frac{120}{216} = \frac{5 \cdot 24}{9 \cdot 24} = \frac{5}{9} \).

  • б) n = 4

    • Мы хотим получить 4 разных результата за 4 броска. Общее число исходов: \( 6^4 = 1296 \).

    Число благоприятных исходов: \( P_6^4 = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360 \).

    Вероятность: \( P = \frac{360}{1296} = \frac{10 \cdot 36}{36 \cdot 36} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18} \).

  • в) n = 5

    • Мы хотим получить 5 разных результатов за 5 бросков. Общее число исходов: \( 6^5 = 7776 \).

    Число благоприятных исходов: \( P_6^5 = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 720 \).

    Вероятность: \( P = \frac{720}{7776} = \frac{10 \cdot 72}{108 \cdot 72} = \frac{10}{108} = \frac{5}{54} \).

  • г) n = 6

    • Мы хотим получить 6 разных результатов за 6 бросков. Общее число исходов: \( 6^6 = 46656 \).

    Число благоприятных исходов: \( P_6^6 = 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720 \).

    Вероятность: \( P = \frac{720}{46656} = \frac{10 \cdot 72}{648 \cdot 72} = \frac{10}{648} = \frac{5}{324} \).

  • д) n = 7

    • Мы хотим получить 7 разных результатов за 7 бросков. Поскольку на игральной кости всего 6 граней, невозможно получить 7 разных результатов. Следовательно, число благоприятных исходов равно 0.

    Вероятность: \( P = \frac{0}{6^7} = 0 \).

Ответ: а) 5/9; б) 5/18; в) 5/54; г) 5/324; д) 0.