1091. Из Курска в Москву, расстояние между которыми 536 км, выехал автомобиль. Через 2,5 ч после начала движения первого автомобиля навстречу сму из Москвы выехал второй автомобиль, который встретился с первым через 2 ч после своего выезда. Найдите скорость каждого автомобиля, если первый за 2 ч проезжает на 69 км меньше, чем второй за 3 ч.

Решение:

Обозначим скорость первого автомобиля (из Курска) как \( v_1 \) км/ч, а скорость второго автомобиля (из Москвы) как \( v_2 \) км/ч.

Общее расстояние между Курском и Москвой равно 536 км.

Первый автомобиль ехал 2,5 часа до выезда второго автомобиля. За это время он проехал:

\( S_1 = v_1 \times 2.5 \) км.

Затем навстречу ему выехал второй автомобиль. Они встретились через 2 часа после выезда второго автомобиля. Это значит, что первый автомобиль ехал в общей сложности \( 2.5 + 2 = 4.5 \) часа.

Расстояние, которое проехал первый автомобиль до встречи:

\( S_{1, всего} = v_1 \times 4.5 \) км.

Расстояние, которое проехал второй автомобиль до встречи:

\( S_{2, всего} = v_2 \times 2 \) км.

Сумма расстояний, которые проехали оба автомобиля до встречи, равна общему расстоянию между городами:

\( S_{1, всего} + S_{2, всего} = 536 \)

\( 4.5v_1 + 2v_2 = 536 \) (Уравнение 1)

Теперь используем второе условие: первый автомобиль за 2 часа проезжает на 69 км меньше, чем второй за 3 часа.

Расстояние, которое проезжает первый автомобиль за 2 часа: \( 2v_1 \).

Расстояние, которое проезжает второй автомобиль за 3 часа: \( 3v_2 \).

\( 2v_1 = 3v_2 - 69 \) (Уравнение 2)

Теперь решим систему из двух уравнений:

1) \( 4.5v_1 + 2v_2 = 536 \)

2) \( 2v_1 = 3v_2 - 69 \)

Выразим \( v_1 \) из второго уравнения:

\( v_1 = \frac{3v_2 - 69}{2} \)

Подставим это выражение для \( v_1 \) в первое уравнение:

\( 4.5 \left( \frac{3v_2 - 69}{2} \right) + 2v_2 = 536 \)

Умножим всё на 2, чтобы избавиться от дроби:

\( 4.5(3v_2 - 69) + 4v_2 = 1072 \)

\( 13.5v_2 - 310.5 + 4v_2 = 1072 \)

\( 17.5v_2 = 1072 + 310.5 \)

\( 17.5v_2 = 1382.5 \)

\( v_2 = \frac{1382.5}{17.5} = 79 \) км/ч.

Теперь найдём \( v_1 \) из уравнения \( v_1 = \frac{3v_2 - 69}{2} \):

\( v_1 = \frac{3 \times 79 - 69}{2} \)

\( v_1 = \frac{237 - 69}{2} \)

\( v_1 = \frac{168}{2} = 84 \) км/ч.

Проверка:

Первый автомобиль за 4,5 часа проехал: \( 84 \times 4.5 = 378 \) км.

Второй автомобиль за 2 часа проехал: \( 79 \times 2 = 158 \) км.

Сумма расстояний: \( 378 + 158 = 536 \) км. (Верно)

Проверка второго условия: первый за 2 часа проезжает \( 84 \times 2 = 168 \) км. Второй за 3 часа проезжает \( 79 \times 3 = 237 \) км. \( 237 - 168 = 69 \) км. (Верно)

Ответ: Скорость первого автомобиля \( v_1 = 84 \) км/ч, скорость второго автомобиля \( v_2 = 79 \) км/ч.