1091. Из Курска в Москву, расстояние между которыми 536 км, выехал автомобиль. Через 2,5 ч после начала движения первого автомобиля навстречу ему из Москвы выехал второй автомобиль, который встретился с первым через 2 ч после своего выезда. Найдите скорость каждого автомобиля, если первый за 2 ч проезжает на 69 км меньше, чем второй за 3 ч.

Решение:

1. Пусть \( v_1 \) — скорость первого автомобиля (км/ч), а \( v_2 \) — скорость второго автомобиля (км/ч).
2. Общее расстояние между Курском и Москвой = 536 км.
3. Первый автомобиль выехал первым.
4. Через 2,5 часа после выезда первого автомобиля, навстречу ему выехал второй.
5. Второй автомобиль встретился с первым через 2 часа после своего выезда.
6. Время движения первого автомобиля до встречи: \( t_1 = 2.5 + 2 = 4.5 \) часа.
7. Время движения второго автомобиля до встречи: \( t_2 = 2 \) часа.
8. Расстояние, которое проехал первый автомобиль до встречи: \( S_1 = v_1 \cdot t_1 = 4.5v_1 \) км.
9. Расстояние, которое проехал второй автомобиль до встречи: \( S_2 = v_2 \cdot t_2 = 2v_2 \) км.
10. Так как автомобили двигались навстречу друг другу, сумма пройденных ими расстояний равна общему расстоянию: \( S_1 + S_2 = 536 \) км.
11. \( 4.5v_1 + 2v_2 = 536 \) (1)
12. По условию, первый автомобиль за 2 часа проезжает на 69 км меньше, чем второй за 3 часа.
13. Расстояние, которое первый автомобиль проезжает за 2 часа: \( S_{1,2ч} = 2v_1 \) км.
14. Расстояние, которое второй автомобиль проезжает за 3 часа: \( S_{2,3ч} = 3v_2 \) км.
15. \( 2v_1 = 3v_2 - 69 \) (2)
16. Из уравнения (2) выразим \( v_1 \): \( 2v_1 = 3v_2 - 69 \) → \( v_1 = \frac{3v_2 - 69}{2} = 1.5v_2 - 34.5 \).
17. Подставим это выражение для \( v_1 \) в уравнение (1): \( 4.5(1.5v_2 - 34.5) + 2v_2 = 536 \).
18. Решим полученное уравнение: \( 6.75v_2 - 155.25 + 2v_2 = 536 \).
19. \( 8.75v_2 = 536 + 155.25 \)
20. \( 8.75v_2 = 691.25 \)
21. \( v_2 = \frac{691.25}{8.75} = 79 \) км/ч.
22. Теперь найдём скорость первого автомобиля: \( v_1 = 1.5v_2 - 34.5 = 1.5(79) - 34.5 = 118.5 - 34.5 = 84 \) км/ч.

Ответ: Скорость первого автомобиля 84 км/ч, скорость второго автомобиля 79 км/ч.