11.3 Найдите радиус сферы, описанной около конуса (сфера содержит основание конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна \(143\sqrt{2}\).

Центр сферы расположен в центре основания конуса, поэтому расстояние от него до окружности основания равно радиусу основания, а расстояние до вершины равно высоте конуса. Так как сфера проходит через окружность основания и вершину, радиус основания и высота конуса равны радиусу сферы. Обозначим его через \(R\).

По теореме Пифагора для образующей \(l\):

\(l^2=R^2+R^2=2R^2\).

Подставим \(l=143\sqrt{2}\): \((143\sqrt{2})^2=2R^2\), откуда \(R^2=143^2\) и \(R=143\).

Ответ: 143.