11.3. Найдите значения переменной, при которых определена алгебраическая дробь:

Решение:

Алгебраическая дробь определена, когда её знаменатель не равен нулю.

а) Знаменатель \( (x-5)(3x+2) \). Дробь определена, если \( (x-5)(3x+2) ≠ 0 \), то есть \( x ≠ 5 \) и \( x ≠ -2/3 \).

б) Знаменатель \( x^2 - 14x + 49 = (x-7)^2 \). Дробь определена, если \( (x-7)^2 ≠ 0 \), то есть \( x ≠ 7 \).

в) Знаменатель \( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \). Дробь определена, если \( (x-3)(x+3) ≠ 0 \), то есть \( x ≠ 3 \) и \( x ≠ -3 \).

г) Знаменатель \( x^2 + 5x = x(x+5) \). Дробь определена, если \( x(x+5) ≠ 0 \), то есть \( x ≠ 0 \) и \( x ≠ -5 \).

д) Знаменатель \( (x+6)(x-2)^2 \). Дробь определена, если \( (x+6)(x-2)^2 ≠ 0 \), то есть \( x ≠ -6 \) и \( x ≠ 2 \).

е) Знаменатель \( x^2 - 81 = (x-9)(x+9) \). Дробь определена, если \( (x-9)(x+9) ≠ 0 \), то есть \( x ≠ 9 \) и \( x ≠ -9 \).

Ответ: а) \( x ≠ 5 \) и \( x ≠ -2/3 \); б) \( x ≠ 7 \); в) \( x ≠ 3 \) и \( x ≠ -3 \); г) \( x ≠ 0 \) и \( x ≠ -5 \); д) \( x ≠ -6 \) и \( x ≠ 2 \); е) \( x ≠ 9 \) и \( x ≠ -9 \).