11.35. Спутник движется вокруг планеты по орбите радиусом 6 · 10⁹ м со скоростью 40 км/с. Какова плотность планеты, если её радиус 4 · 10⁸ м?

Дано: радиус орбиты \(r=6\cdot10^9\) м; скорость спутника \(v=40\) км/с \(=4\cdot10^4\) м/с; радиус планеты \(R=4\cdot10^8\) м.

1. Для круговой орбиты гравитационное ускорение обеспечивает центростремительное: \(GM/r^2=v^2/r\). Следовательно, \(M=v^2r/G\).
2. Плотность планеты \(\rho=M/(4\pi R^3/3)\). Подставим выражение массы: \(\rho=\dfrac{3v^2r}{4\pi G R^3}\).
3. Подстановка при \(G=6.67\cdot10^{-11}\) Н·м²/кг²: \(\rho=\dfrac{3(4\cdot10^4)^2(6\cdot10^9)}{4\pi(6.67\cdot10^{-11})(4\cdot10^8)^3}\approx1.07\cdot10^3\) кг/м³.

Ответ: плотность планеты примерно \(1.1\cdot10^3\) кг/м³.