11(А). Вычислить \(\frac{2\cdot2025}{1+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\ldots+\frac{1}{1+2+3+\ldots+2025}}\).

Сумма первых \(k\) натуральных чисел равна \(\frac{k(k+1)}{2}\), поэтому

\(\frac{1}{1+2+\cdots+k}=\frac{2}{k(k+1)}=2\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)\).

Знаменатель исходной дроби равен

\(1+\sum_{k=2}^{2025}2\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)=1+2\left(\frac12-\frac1{2026}\right)=2-\frac1{1013}=\frac{2025}{1013}\).

Тогда \(\frac{2\cdot2025}{2025/1013}=2\cdot1013=2026\).

Ответ: 2026.