12(А). Найти дробь, которая не изменит своей величины, если к числителю прибавить 17, а к знаменателю 13. Найти общий вид таких дробей.

Пусть дробь равна \(\frac{a}{b}\), где \(b\ne0\). Требуется, чтобы \(\frac{a+17}{b+13}=\frac{a}{b}\).

Перемножим крест-накрест: \(b(a+17)=a(b+13)\).

Раскрывая скобки и сокращая \(ab\), получаем \(17b=13a\), то есть \(\frac{a}{b}=\frac{17}{13}\).

Следовательно, все такие дроби имеют вид \(\frac{17k}{13k}\), где \(k\ne0\) (для натуральных числителя и знаменателя — натуральное \(k\)).

Ответ: дроби вида \(\frac{17k}{13k}\), \(k\ne0\).