11. AC = 10, OD = ?

Решение:

Дан прямоугольный треугольник \( ABC \), где \( ∠ C = 90^\circ \). Окружность с центром \( O \) вписана в треугольник и касается стороны \( AC \) в точке \( D \).

Из рисунка видно, что \( BC = 24 \) и \( AC = 10 \).

\( OD \) — это радиус вписанной окружности, так как \( OD ⊥ AC \) (поскольку \( D \) — точка касания).

В прямоугольном треугольнике \( ABC \), \( ∠ C = 90^\circ \). Так как окружность вписана, \( CDOE \) является квадратом, где \( E \) — точка касания на \( BC \). Следовательно, \( OD = OE = CD = CE = r \), где \( r \) — радиус вписанной окружности.

Мы знаем, что \( AC = 10 \) и \( BC = 24 \).

По теореме Пифагора найдём гипотенузу \( AB \):

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

\[ AB^2 = 10^2 + 24^2 \]

\[ AB^2 = 100 + 576 \]

\[ AB^2 = 676 \]

\[ AB = √{676} = 26 \]

Формула для радиуса вписанной окружности в прямоугольном треугольнике:

\[ r = ½ (a + b - c) \]

где \( a \) и \( b \) — катеты, \( c \) — гипотенуза.

\[ r = ½ (AC + BC - AB) \]

\[ r = ½ (10 + 24 - 26) \]

\[ r = ½ (34 - 26) \]

\[ r = ½ (8) = 4 \]

Так как \( OD = r \), то \( OD = 4 \).

Ответ: OD = 4.