7. ∠L, ∠M, ∠E = ?

Решение:

Дан равнобедренный треугольник \( LEM \) с основанием \( LM \), вписанный в окружность. Центр окружности \( O \) является точкой пересечения биссектрис, серединных перпендикуляров и высот.

Поскольку \( LEM \) — равнобедренный треугольник, \( LE = EM \).

Угол \( LOM \) является центральным углом, опирающимся на дугу \( LM \). Угол \( LOM = 108^\circ \) (из рисунка). Однако, \( 108^\circ \) указан как вписанный угол \( LKM \) (если бы \( K \) была на окружности), но здесь \( 108^\circ \) явно относится к дуге \( LM \) или центральному углу \( LOM \).

Если \( ∠ LOM = 108^\circ \) (центральный угол), то вписанный угол, опирающийся на ту же дугу \( LM \), равен половине центрального угла: \( ∠ LEM = ½ ∠ LOM = ½ · 108^\circ = 54^\circ \).

Так как \( △ LEM \) равнобедренный с \( LE = EM \), то углы при основании равны: \( ∠ L = ∠ M \).

Сумма углов в треугольнике равна \( 180^\circ \): \( ∠ L + ∠ M + ∠ E = 180^\circ \).

\[ ∠ L + ∠ L + 54^\circ = 180^\circ \]

\[ 2∠ L = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ \]

\[ ∠ L = \frac{126^\circ}{2} = 63^\circ \]

Следовательно, \( ∠ M = 63^\circ \).

Ответ: ∠L = 63°, ∠M = 63°, ∠E = 54°.