5. KF = EF, P_triangleKFE = ?

Решение:

Нам дан треугольник \( KFE \) с вписанной окружностью. Из условия известно, что \( KF = EF \), значит, треугольник \( KFE \) — равнобедренный. Окружность касается сторон \( KF \) в точке \( M \), \( KE \) и \( FE \).

Из рисунка видно, что \( KM = 6 \) и \( MF = 8 \). Так как \( KF = KM + MF \), то \( KF = 6 + 8 = 14 \).

По свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности, имеем: \( KE = KF \), \( EM = EF \), \( KM = KN \) (где \( N \) — точка касания на \( KE \)).

В равнобедренном треугольнике \( KFE \) медиана \( KM \) (если бы \( M \) была серединой \( KE \)) является высотой и биссектрисой. Однако \( M \) — точка касания.

Поскольку \( KF = EF \), то \( KM + MF = EN + NE \) (где \( N \) - точка касания на \( KE \), \( E \) - вершина).

Из условия \( KF = EF \), следовательно, \( KM + MF = KE + EN \).

По свойству касательных: \( KM = KN = 6 \), \( MF = PF = 8 \) (где \( P \) — точка касания на \( FE \)).

Тогда \( KF = KM + MF = 6 + 8 = 14 \).

Так как \( KF = EF \), то \( EF = 14 \).

\( KE = KN + NE \). Также \( EF = PF + PE = 8 + PE \).

Поскольку \( KF = EF \), то \( 14 = 8 + PE \), откуда \( PE = 14 - 8 = 6 \).

Теперь найдём длину стороны \( KE \). \( KE = KN + NE \). Мы знаем, что \( KM = KN = 6 \). Нам нужно найти \( NE \).

Поскольку \( EF = 14 \) и \( PF = 8 \), то \( PE = 14 - 8 = 6 \).

Также \( NE = PE = 6 \) (так как касательные из \( E \) к окружности равны).

Следовательно, \( KE = KN + NE = 6 + 6 = 12 \).

Периметр треугольника \( KFE \) равен \( KF + FE + KE \) = \( 14 + 14 + 12 = 40 \).

Ответ: P_ΔKFE = 40.