11. Calculate the integral: \(\int_{-1}^{3} 3x^2 dx\)

Решение:

Чтобы вычислить определённый интеграл, сначала найдём первообразную для функции \( f(x) = 3x^2 \).

Первообразная \( F(x) \) находится по правилу \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \).

В данном случае \( n = 2 \).

\[ F(x) = \int 3x^2 dx = 3 · \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 · \frac{x^3}{3} = x^3 \]

Теперь применим формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определённого интеграла: \( \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) \).

Здесь \( a = -1 \) и \( b = 3 \).

\[ \int_{-1}^{3} 3x^2 dx = F(3) - F(-1) \]

\[ F(3) = (3)^3 = 27 \]

\[ F(-1) = (-1)^3 = -1 \]

\[ \int_{-1}^{3} 3x^2 dx = 27 - (-1) = 27 + 1 = 28 \]

Ответ: 28