9. Investigate the function using the derivative and plot the graph: f(x) = 2x³ - 3x² - 4

Исследование функции \( f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 4 \)

1. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел, \( D(f) = (-\infty; +\infty) \).
2. Производная:

\[ f'(x) = (2x^3 - 3x^2 - 4)' = 6x^2 - 6x \]

3. Критические точки:

Приравняем производную к нулю:

\[ 6x^2 - 6x = 0 \]

\[ 6x(x - 1) = 0 \]

Критические точки: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 1 \).

4. Интервалы монотонности и экстремумы:

Значения функции в экстремумах:

\( f(0) = 2(0)^3 - 3(0)^2 - 4 = -4 \) (точка максимума: (0; -4)).

\( f(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 - 4 = 2 - 3 - 4 = -5 \) (точка минимума: (1; -5)).

5. Направление выпуклости и точки перегиба:

Вторая производная:

\[ f''(x) = (6x^2 - 6x)' = 12x - 6 \]

Приравняем вторую производную к нулю:

\[ 12x - 6 = 0 \]

\[ 12x = 6 \]

\[ x = 0.5 \]

Значение функции в точке перегиба:

\( f(0.5) = 2(0.5)^3 - 3(0.5)^2 - 4 = 2(0.125) - 3(0.25) - 4 = 0.25 - 0.75 - 4 = -0.5 - 4 = -4.5 \) (точка перегиба: (0.5; -4.5)).

6. График:

Ответ: Функция возрастает на \( (-\infty; 0) \) и \( (1; +\infty) \), убывает на \( (0; 1) \). Максимум в точке (0; -4), минимум в точке (1; -5). Точка перегиба (0.5; -4.5). График построен.