11 Через точку О пересечения диагоналей параллелограмма ABCD проведена прямая, пересекающая стороны ВС и AD в точках К и М соответственно. Докажите, что ВК = DM.

Решение:

1. Диагонали параллелограмма пересекаются в точке О и делятся пополам. Следовательно, \( AO = OC \) и \( BO = OD \).

2. Рассмотрим треугольники \( \triangle AOM \) и \( \triangle COK \).

• \( AO = OC \) (по свойству диагоналей параллелограмма).
• \( \angle AOM = \angle COK \) (как вертикальные углы).
• \( \angle OAM = \angle OCK \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AC).

3. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), \( \triangle AOM = \triangle COK \). Следовательно, \( AM = CK \).

4. Рассмотрим треугольники \( \triangle AOK \) и \( \triangle COM \).

• \( AO = OC \) (по свойству диагоналей параллелограмма).
• \( \angle AOK = \angle COM \) (как вертикальные углы).
• \( \angle OAK = \angle OCM \) (как накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CD и секущей AC).

5. По второму признаку равенства треугольников, \( \triangle AOK = \triangle COM \). Следовательно, \( AK = CM \).

6. Так как ABCD — параллелограмм, то \( BC = AD \) и \( AB = CD \).

• \( BC = BK + KC \)
• \( AD = AM + MD \)

7. Из равенства \( AM = CK \) (из пункта 3) и \( BC = AD \), а также \( BC = BK + KC \) и \( AD = AM + MD \), следует, что \( BK = DM \).

Доказано.