14 Окружности с центрами в точках РиQ не имеют общих точек, и ни одна из них не лежит внутри другой. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении а: в. Докажите, что диаметры этих окружностей относятся так же, как а : b.

Решение:

1. Пусть \( r_1 \) и \( r_2 \) — радиусы окружностей с центрами \( P \) и \( Q \) соответственно. Пусть \( R_1 = 2r_1 \) и \( R_2 = 2r_2 \) — их диаметры.

2. Обозначим точки касания внутренней общей касательной с первой окружностью как \( A \), а со второй — как \( B \). Отрезок \( PQ \) соединяет центры окружностей.

3. Пусть внутренняя касательная пересекает отрезок \( PQ \) в точке \( O \). По условию, \( PO : OQ = a : b \).

4. Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательной: \( PA \perp AB \) и \( QB \perp AB \).

5. Рассмотрим \( \triangle PAO \) и \( \triangle QBO \).

• \( \angle PAO = \angle QBO = 90^{\circ} \) (по свойству касательной и радиуса).
• \( \angle POA = \angle QOB \) (как вертикальные углы).

6. По второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), \( \triangle PAO \sim \triangle QBO \) (подобны), так как \( \angle POA = \angle QOB \) и \( \angle PAO = \angle QBO \).

7. Из подобия треугольников следует отношение их соответствующих сторон:

\( \frac{PA}{QB} = \frac{PO}{QO} = \frac{AO}{BO} \)

8. Подставляем известные значения: \( PA = r_1 \), \( QB = r_2 \), \( PO = a \), \( QO = b \).

\( \frac{r_1}{r_2} = \frac{a}{b} \)

9. Нам нужно доказать, что диаметры окружностей относятся так же, как \( a : b \). Диаметры равны удвоенным радиусам: \( R_1 = 2r_1 \) и \( R_2 = 2r_2 \).

10. Рассмотрим отношение диаметров: \( \frac{R_1}{R_2} = \frac{2r_1}{2r_2} = \frac{r_1}{r_2} \).

11. Поскольку \( \frac{r_1}{r_2} = \frac{a}{b} \), то и \( \frac{R_1}{R_2} = \frac{a}{b} \).

Таким образом, диаметры окружностей относятся так же, как \( a : b \).

Доказано.