13 Окружности с центрами в точках Е и F пересекаются в точках С и Д, причём точки Е и F лежат по одну сторону от прямой CD. Докажите, что прямые CD и EF перпендикулярны.

Решение:

1. Соединим точки \( E \) и \( F \) с точками пересечения окружностей \( C \) и \( D \).

2. Рассмотрим \( \triangle ECF \) и \( \triangle EDF \).

• \( EC = ED \) (как радиусы первой окружности с центром \( E \)).
• \( FC = FD \) (как радиусы второй окружности с центром \( F \)).
• \( EF \) — общая сторона.

3. По третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам), \( \triangle ECF = \triangle EDF \). Следовательно, \( \angle CEF = \angle DEF \) и \( \angle CFE = \angle DFE \).

4. Рассмотрим \( \triangle ECD \).

• \( EC = ED \) (радиусы).
• Следовательно, \( \triangle ECD \) — равнобедренный.
• \( EF \) является биссектрисой \( \angle CED \) (из п. 3).
• В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, также является медианой и высотой.

5. Значит, \( EF \) перпендикулярна \( CD \) и делит \( CD \) пополам.

6. Также рассмотрим \( \triangle CFD \).

• \( FC = FD \) (радиусы).
• Следовательно, \( \triangle CFD \) — равнобедренный.
• \( FE \) является биссектрисой \( \angle CFD \) (из п. 3).
• Следовательно, \( FE \) перпендикулярна \( CD \) и делит \( CD \) пополам.

7. Поскольку \( EF \) перпендикулярна \( CD \) (из п. 5 и 6), то прямые \( CD \) и \( EF \) перпендикулярны.

Доказано.