11. Дано: ABCD — ромб; диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Точки K и P лежат соответственно на BC и CD; OK ⟂ BC, OP ⟂ CD. Доказать: OK = OP.

Диагонали ромба делят его на четыре равновеликих треугольника. В частности, треугольники BOC и COD имеют равные площади.

1. Площадь треугольника BOC, взяв BC за основание, равна \(\frac{1}{2}BC\cdot OK\), поскольку OK ⟂ BC.
2. Площадь треугольника COD, взяв CD за основание, равна \(\frac{1}{2}CD\cdot OP\), поскольку OP ⟂ CD.
3. Поскольку площади этих треугольников равны, а в ромбе BC = CD, получаем \(\frac{1}{2}BC\cdot OK=\frac{1}{2}CD\cdot OP\), откуда OK = OP.

Ответ: OK = OP.