Дано: ABCD — квадрат. На сторонах AB, BC, CD и DA взяты соответственно точки A₁, B₁, C₁ и D₁; отмечено, что отрезки AA₁, BB₁, CC₁ и DD₁ равны. Доказать: A₁B₁C₁D₁ — прямоугольник.

Пусть сторона квадрата равна \(a\), а каждый из отмеченных отрезков равен \(x\). Введём координаты: A(0, 0), B(0, a), C(a, a), D(a, 0). Тогда A₁(0, x), B₁(x, a), C₁(a, a−x), D₁(a−x, 0).

1. Векторы соседних сторон внутреннего четырёхугольника: \(\overrightarrow{A₁B₁}=(x,a−x)\) и \(\overrightarrow{B₁C₁}=(a−x,−x)\).
2. Их скалярное произведение равно \(x(a−x)+(a−x)(−x)=0\). Значит, A₁B₁ ⟂ B₁C₁.
3. Кроме того, \(\overrightarrow{C₁D₁}=(-(x),−(a−x))\), то есть \(\overrightarrow{C₁D₁}=−\overrightarrow{A₁B₁}\); а \(\overrightarrow{D₁A₁}=(-(a−x),x)=−\overrightarrow{B₁C₁}\). Следовательно, противоположные стороны попарно параллельны.
4. Четырёхугольник с противоположными сторонами попарно параллельными и прямым углом является прямоугольником.

Следовательно, A₁B₁C₁D₁ — прямоугольник.