№11. Диагонали АС и BD трапеции ABCD с основаниями ВС и AD пересекаются в точке O, BC=3, AD=7, AC=20. Найдите АО.

Решение:

Рассмотрим трапецию ABCD с основаниями BC и AD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O.

Треугольники \( \text{BOC} \) и \( \text{DOA} \) подобны по двум углам:

• \( \text{Угол BOC} = \text{Угол DOA} \) (как вертикальные).
• \( \text{Угол OBC} = \text{Угол ODA} \) (как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей BD).
• \( \text{Угол OCB} = \text{Угол OAD} \) (как накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей AC).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

\( \frac{BO}{DO} = \frac{CO}{AO} = \frac{BC}{AD} \).

Нам дано: \( BC = 3 \), \( AD = 7 \), \( AC = 20 \).

Пусть \( CO = x \), тогда \( AO = AC - CO = 20 - x \).

Из пропорции имеем:

\( \frac{x}{20-x} = \frac{3}{7} \)

Решаем уравнение:

\( 7x = 3(20 - x) \)

\( 7x = 60 - 3x \)

\( 7x + 3x = 60 \)

\( 10x = 60 \)

\( x = 6 \).

Значит, \( CO = 6 \).

Теперь найдём \( AO \):

\( AO = 20 - x = 20 - 6 = 14 \).

Ответ: 14.