11. Докажите, что диагональ параллелепипеда меньше суммы трёх рёбер, имеющих общую вершину.

Пусть длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины, равны \(a\), \(b\), \(c\), а длина диагонали параллелепипеда — \(d\). По теореме Пифагора для прямоугольного параллелепипеда:

\[d=\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\]

Так как \(a,b,c>0\), то \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc>a^2+b^2+c^2=d^2\). Обе величины положительны, поэтому из сравнения квадратов следует \(a+b+c>d\).

Ответ: диагональ параллелепипеда меньше суммы трёх рёбер с общей вершиной.