12. Докажите, что сумма квадратов четырёх диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его рёбер.

Обозначим длины трёх рёбер, выходящих из одной вершины, через \(a\), \(b\), \(c\). Каждая из четырёх пространственных диагоналей прямоугольного параллелепипеда имеет квадрат длины \(a^2+b^2+c^2\). Поэтому сумма квадратов диагоналей равна \(4(a^2+b^2+c^2)\).

У параллелепипеда по четыре ребра каждой из трёх длин, так что сумма квадратов всех его рёбер также равна \(4a^2+4b^2+4c^2=4(a^2+b^2+c^2)\).

Ответ: суммы квадратов диагоналей и рёбер равны.