11. Докажите, что при любом целом значении x является натуральным числом значение дроби [x²(x² + 6) + 9]/(x² + 3).

Преобразуем числитель:

\[x^2(x^2+6)+9=x^4+6x^2+9=(x^2+3)^2.\]

Тогда

\[\frac{x^2(x^2+6)+9}{x^2+3}=\frac{(x^2+3)^2}{x^2+3}=x^2+3.\]

При любом целом \(x\) число \(x^2\) является неотрицательным целым числом, поэтому \(x^2+3\) является натуральным числом.

Ответ: \(\frac{x^2(x^2+6)+9}{x^2+3}=x^2+3\in\mathbb N\).