11. Докажите, что при любом значении b: а) значение выражения \( \frac{1}{9}b^2 + \frac{1}{3}b + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b + \frac{1}{2} \) равно 3; б) значение выражения \( 3,2 - \frac{1}{4}b(0,25b+3,2) + \frac{1}{16}b^2 \) равно 10,24.

Решение:

а) Докажем, что \( \frac{1}{9}b^2 + \frac{1}{3}b + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b + \frac{1}{2} = 3 \)

1. Приведём к общему знаменателю все члены выражения: \( \frac{1}{9}b^2 + (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3})b + \frac{1}{2} \)
2. Сложим коэффициенты при \( b \): \( \frac{1}{3} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2+3+2}{6} = \frac{7}{6} \)
3. Подставим обратно: \( \frac{1}{9}b^2 + \frac{7}{6}b + \frac{1}{2} \)
4. Анализ задания: В условии задания есть опечатка. Исходя из данного вида, выражение не упрощается до 3. Если предположить, что \( \frac{1}{9}b^2 \) должно было быть \( \frac{1}{3}b^2 \), то: \( \frac{1}{3}b^2 + \frac{7}{6}b + \frac{1}{2} \). Это также не равно 3. Исходя из предоставленного решения, вероятно, имелось в виду другое выражение, или же решение для данного пункта отсутствует.

б) Докажем, что \( 3,2 - \frac{1}{4}b(0,25b+3,2) + \frac{1}{16}b^2 = 10,24 \)

1. Переведём десятичные дроби в обыкновенные: \( 3,2 = \frac{32}{10} = \frac{16}{5} \), \( 0,25 = \frac{1}{4} \), \( \frac{1}{16}b^2 \)
2. Подставим и раскроем скобки: \( \frac{16}{5} - \frac{1}{4}b(\frac{1}{4}b + \frac{16}{5}) + \frac{1}{16}b^2 \)
3. \( \frac{16}{5} - \frac{1}{16}b^2 - \frac{16}{20}b + \frac{1}{16}b^2 \)
4. Сократим члены: \( \frac{16}{5} - \frac{16}{20}b \)
5. Упростим дробь \( \frac{16}{20} \): \( \frac{4}{5}b \)
6. Получаем: \( \frac{16}{5} - \frac{4}{5}b \)
7. Анализ задания: В условии задания также вероятна опечатка. В данном виде выражение не упрощается до 10,24. Если бы было \( 3,2 - \frac{1}{4}b(0,25b+3,2) + \frac{4}{5}b \) то: \( \frac{16}{5} - \frac{1}{16}b^2 - \frac{16}{20}b + \frac{4}{5}b \) = \( \frac{16}{5} - \frac{1}{16}b^2 - \frac{4}{5}b + \frac{4}{5}b \) = \( \frac{16}{5} - \frac{1}{16}b^2 \). Это также не равно 10,24.

Примечание: В пунктах 11а и 11б имеются неточности в условиях заданий, которые не позволяют получить указанные в них результаты.