11. Докажите, что при любом значении b: a) значение выражения \( \frac{1}{9}b^2 + \frac{1}{3}b + \frac{1}{2} \) + \( \frac{1}{3}b + \frac{1}{2} \) + 2,75 равно 3; б) значение выражения \( \frac{3}{4}b(0,25b+3,2) + \frac{1}{16}b^2 \) равно 10,24.

Решение:

а) Упростим выражение:

\( \frac{1}{9}b^2 + \frac{1}{3}b + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}b + \frac{1}{2} + 2,75 \)

Сгруппируем подобные слагаемые:

\( \frac{1}{9}b^2 + (\frac{1}{3}b + \frac{1}{3}b) + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) + 2,75 \)

\( \frac{1}{9}b^2 + \frac{2}{3}b + 1 + 2,75 \)

\( \frac{1}{9}b^2 + \frac{2}{3}b + 3,75 \)

Примечание: в задании, вероятно, опечатка. Если бы выражение было \( (\frac{1}{3}b + \frac{1}{2})^2 \) или \( (\frac{1}{3}b)^2 + 2 \cdot \frac{1}{3}b \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{9}b^2 + \frac{1}{3}b + \frac{1}{4} \), то при сложении с \( \frac{1}{3}b + \frac{1}{2} + 2,75 \) получилось бы \( \frac{1}{9}b^2 + \frac{2}{3}b + 3,5 \). Для того, чтобы сумма равнялась 3, требуется иное выражение.

Предположим, что имелось в виду:

\( (\frac{1}{3}b + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{3}b + 2,25 \) ?

\( \frac{1}{9}b^2 + \frac{1}{3}b + \frac{1}{4} + \frac{1}{3}b + 2,25 \)

\( \frac{1}{9}b^2 + \frac{2}{3}b + 0,25 + 2,25 \)

\( \frac{1}{9}b^2 + \frac{2}{3}b + 2,5 \)

Рассмотрим вариант, где значение выражения равно 3.

Если \( \frac{1}{9}b^2 + \frac{1}{3}b + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}b + \frac{1}{2} + 2,75 = 3 \), то \( \frac{1}{9}b^2 + \frac{2}{3}b + 1 + 2,75 = 3 \), \( \frac{1}{9}b^2 + \frac{2}{3}b + 3,75 = 3 \), \( \frac{1}{9}b^2 + \frac{2}{3}b + 0,75 = 0 \). Умножим на 9: \( b^2 + 6b + 6,75 = 0 \). Дискриминант \( D = 6^2 - 4 x 1 x 6,75 = 36 - 27 = 9 \). \( b = \frac{-6 \pm 3}{2} \). \( b_1 = -1,5 \), \( b_2 = -4,5 \). Это означает, что выражение не равно 3 при ЛЮБОМ значении b.

Предполагая, что задание корректно, и имелось в виду, что ПОСЛЕ упрощения результат НЕ ЗАВИСИТ от b и РАВЕН 3.

\( \frac{1}{9}b^2 + \frac{1}{3}b + \frac{1}{2} + \frac{1}{3}b + \frac{1}{2} + 2,75 = \frac{1}{9}b^2 + \frac{2}{3}b + 1 + 2,75 = \frac{1}{9}b^2 + \frac{2}{3}b + 3,75 \). Это выражение зависит от \( b \).

Возможно, имелось в виду: \( (\frac{1}{3}b + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{3}b + \frac{3}{4} \) ?

\( \frac{1}{9}b^2 + 2 \cdot \frac{1}{3}b \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{3}b + \frac{3}{4} = \frac{1}{9}b^2 + \frac{1}{3}b + \frac{1}{4} + \frac{1}{3}b + 0,75 = \frac{1}{9}b^2 + \frac{2}{3}b + 1 \). Тоже зависит от \( b \).

Сделаем вывод, что изначальное условие (а) некорректно, но если предположить, что b² и b слагаемые сократились бы, то получилось бы число.

б) Упростим выражение:

\( \frac{3}{4}b(0,25b+3,2) + \frac{1}{16}b^2 \)

\( \frac{3}{4}b \cdot \frac{1}{4}b + \frac{3}{4}b \cdot 3,2 + \frac{1}{16}b^2 \)

\( \frac{3}{16}b^2 + \frac{3 \cdot 32}{40}b + \frac{1}{16}b^2 \)

\( \frac{3}{16}b^2 + \frac{9,6}{4}b + \frac{1}{16}b^2 \)

\( \frac{3}{16}b^2 + 2,4b + \frac{1}{16}b^2 \)

Сгруппируем подобные слагаемые:

\( (\frac{3}{16}b^2 + \frac{1}{16}b^2) + 2,4b \)

\( \frac{4}{16}b^2 + 2,4b \)

\( \frac{1}{4}b^2 + 2,4b \)

\( 0,25b^2 + 2,4b \)

Примечание: Как и в пункте (а), выражение зависит от \( b \) и не может быть равно константе 10,24 при любом \( b \). Вероятно, в задании ошибка.

Если бы выражение было: \( \frac{3}{4}b(0,25b+3,2) - \frac{1}{16}b^2 + 10,24 \) ?

\( 0,1875b^2 + 2,4b - 0,0625b^2 + 10,24 \)

\( 0,125b^2 + 2,4b + 10,24 \). Тоже зависит от \( b \).

Предположим, что в задании (б) имелось в виду, что выражение равно 10,24 при некотором значении b, и нужно это значение найти.

\( 0,25b^2 + 2,4b = 10,24 \)

\( 0,25b^2 + 2,4b - 10,24 = 0 \)

Умножим на 4:

\( b^2 + 9,6b - 40,96 = 0 \)

Дискриминант \( D = (9,6)^2 - 4 x 1 x (-40,96) = 92,16 + 163,84 = 256 \).

\( \sqrt{D} = 16 \).

\( b_1 = \frac{-9,6 + 16}{2} = \frac{6,4}{2} = 3,2 \).

\( b_2 = \frac{-9,6 - 16}{2} = \frac{-25,6}{2} = -12,8 \).

Следовательно, если бы задание звучало как «найдите значение b, при котором выражение равно 10,24», то ответ был бы 3,2 и -12,8.

Вывод: В пунктах 11а и 11б, вероятно, допущена опечатка в условиях, так как полученные выражения зависят от переменной 'b' и не могут быть равны константам для любого значения 'b'.