12. Представьте в виде многочлена выражение: a) (x-y-7)(x+7-y) = б) (a+b-2)(a+b+2) = (a + b)² - 2² = a² + 2ab+b² - 4

Решение:

а) Используем формулу разности квадратов, представив выражение как \( ((x-y)-7)((x-y)+7) \) или \( (x-(y+7))(x+(y+7)) \) или \( (x-7-y)(x+7-y) \). Более удобный вид: \( ((x-y)-7)((x-y)+7) \).

\( (x-y-7)(x+7-y) = ((x-y)-7)((x-y)+7) \)

По формуле разности квадратов \( (A-B)(A+B) = A^2 - B^2 \), где \( A = x-y \) и \( B = 7 \).

\( (x-y)^2 - 7^2 \)

Раскроем скобки:

\( (x^2 - 2xy + y^2) - 49 \)

\( x^2 - 2xy + y^2 - 49 \)

Альтернативный подход:

\( (x-y-7)(x+7-y) = (x-(y+7))(x-(y-7)) \) — этот вариант не подходит.

\( (x - (y+7)) (x + (y-7)) \) — не подходит.

Попробуем сгруппировать иначе:

\( (x - 7 - y) (x + 7 - y) \) = \( ((x-y)-7)((x-y)+7) \) — уже было.

Если сгруппировать как \( (x-(y+7))(x+(y-7)) \) — не верно.

Давайте перепишем множители:

\( (x-y-7)(x-y+7) \)

Теперь это \( (A-B)(A+B) \), где \( A = x-y \) и \( B = 7 \).

\( (x-y)^2 - 7^2 = x^2 - 2xy + y^2 - 49 \).

б) Представление в виде многочлена уже дано в условии:

\( (a+b-2)(a+b+2) = (a+b)^2 - 2^2 = a^2 + 2ab + b^2 - 4 \)

Проверка:

\( (a+b-2)(a+b+2) = ((a+b)-2)((a+b)+2) \)

По формуле разности квадратов \( (A-B)(A+B) = A^2 - B^2 \), где \( A = a+b \) и \( B = 2 \).

\( (a+b)^2 - 2^2 = (a^2 + 2ab + b^2) - 4 = a^2 + 2ab + b^2 - 4 \).

Решение совпадает с приведенным в условии.

Ответ: а) \( x^2 - 2xy + y^2 - 49 \); б) \( a^2 + 2ab + b^2 - 4 \).