№11. Докажите, что при всех значениях a ≠ ±1 значение выражения не зависит от a: (a−1)²(1/(a²−2a+1) + 1/(a²−1)) + 2/(a+1).

Разложим знаменатели на множители: \(a^2-2a+1=(a-1)^2\), \(a^2-1=(a-1)(a+1)\).

Подставим разложения и упростим:

\((a-1)^2\left(\frac{1}{(a-1)^2}+\frac{1}{(a-1)(a+1)}\right)+\frac{2}{a+1}\)

\(=1+\frac{a-1}{a+1}+\frac{2}{a+1}=1+\frac{a+1}{a+1}=2\).

При \(a\ne\pm1\) все исходные знаменатели отличны от нуля, поэтому преобразования допустимы. Полученное значение постоянно.

Ответ: значение выражения равно 2 и не зависит от \(a\).